ArtikelSeminarHasil

PENYELESAIAN MASALAH STURM-LIOUVILLE DARI

PERSAMAAN GELOMBANG SUARA DI BAWAH AIR DENGAN

METODE BEDA HINGGA

Fiqih Sofiana, Sutrima, dan Etik Zukhronah

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam

Universitas Sebelas Maret Surakarta

Abstrak. Persamaan gelombang suara di bawah air merupakan penerapan dari bidang fisika yang dapat diformulasikan ke dalam bentuk matematis. Melalui persamaan kontinuitas,  ersamaan momentum, dan persamaan keadaan dapat dikonstruksikan menjadi persamaan gelombang suara di bawah air, yang dapat diformulasikan ke dalam masalah Sturm-Liouville dengan densitas  rho, kedalaman z, dan nilai eigen . Persamaan tersebut dapat diformulasikan ke bentuk normal masalah Sturm-Liouville untuk mempermudah dalam perhitungan numerik. Metode beda hingga dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville dari persamaan gelombang suara di bawah air. Melalui bentuk normal masalah Sturm-Liouville dapat diperoleh pendekatan sistem persamaan linear y′′ yang kemudian dibentuk ke dalam matriks (N − 1) × (N − 1). Selanjutnya, dari matriks ter sebut dicari nilai eigen dan fungsi eigen y. Sebagai ilustrasi diberikan suatu contoh masalah Sturm-Liouville.

Kata kunci: masalah sturm-liouville, persamaan gelombang suara di bawah air, metode beda hingga, nilai eigen, fungsi eigen

1. Pendahuluan

Persamaan diferensial orde dua Sturm-Liouville didefinisikan

−[py′]′ + qy = λwy, (1.1)

dengan p > 0, w > 0, fungsi p′, q,w merupakan fungsi kontinu pada interval [a, b]. Parameter λ merupakan nilai eigen dan y yang bersesuaian dengan λ disebut fungsi eigen dari persamaan (1.1), sedangkan w adalah fungsi bobot yang bernilai real. Masalah Sturm-Liouville adalah persamaan diferensial (1.1) pada interval a <= x <= b dengan syarat batas,

a1y(a) + a2p(a)y′(a) = 0, b1y(b) + b2p(b)y′(b) = 0,

dengan a1, a2, b1, b2 konstan (Boyce dan Diprima [2]).

Konduksi panas, konveksi panas, getaran senar, dan gelombang suara di ba wah air merupakan masalah pada bidang sika yang dapat diformulasikan ke dalam bentuk matematis. Gelombang suara di bawah air (underwater acoustics) dapat dimanfaatkan untuk menghitung kedalaman laut, radar, dan alat komunikasi untuk kapal selam (Kochanska et al. [5]). Sehingga dapat diperoleh persamaan gelombang