PERBANDINGAN METODE ADAMS BASHFORTH ORDE
EMPAT DAN METODE ADAMS MOULTON ORDE EMPAT
DALAM PENYELESAIAN MNA ORDE SATU
Fiqih Sofiana (M0109030)
1. LATAR BELAKANG MASALAH
Menurut Plybon[3] persamaan y′ = f(x; y) = f(x; y(x)) disebut persamaan diferensial orde pertama dan y(x0) = y0 disebut nilai awal. Dan kombinaasi
keduanya disebut masalah nilai awal. Metode Numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah nilai awal. Baik penyelesaian yang eksaknya mudah
untuk diketahui, maupun sulit untuk diketahui. Banyak metode didalam numerik yang dirancang untuk mendekati penyelesaian pada masalah nilai awal. Metode
numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal meliputi metode singlestep dan metode multistep. Metode singlestep yaitu apabila penyelesaian
di titik x = xn dapat dengan mudah diperoleh berdasarkan penyelesaian di titik sebelumnya yaitu x = xn−1. Metode singlestep terdiri dari metode Taylor dan
metode Runge-Kutta. Sedangkan dapat dikatakan metode multistep, karena membutuhkan penyelesaian di beberapa titik sebelumnya. Metode multistep
terdiri dari metode Adams Bashforth dan Adams Maulton yang akan dibahas pada makalah ini.
Berdasarkan latar belakang, dapat dibuat perumusan masalah
(1) bagaimana menurunkan ulang algoritma Adams Bashforth orde empat dan Adams Moulton orde empat,
(2) bagaimana menerapkan algoritma Adams Bashforth orde empat dan Adams Moulton orde empat, dan
(3) bagaimana menganalisis eror pada penerapan kasus.
3. TUJUAN
(1) dapat menurunkan ulang algoritma Adams Bashforth dan Adams Moulton,
(2) dapat menerapkan algoritma Adams Bashforth orde empat dan Adams Moulton orde empat, dan
(3) dapat menganalisis eror pada penerapan kasus.
4. PEMBAHASAN
4.1. Adams Bashforth Orde Empat. Menurut Conte[1] algoritma Adams Bashforth diperoleh dengan mengintegrasikan persamaan diferensial biasa
y′ = f(x; y) = f(x; y(x))
pada interval [xn; xn+1].4.2. Adams Moulton Orde Empat. Seperti halnya Adams Bashforth, penurunan algoritma Adams Bashforth diperoleh dengan mengintegrasikan persamaan diferensial biasa (4.1) pada interval [xn+1; xn−m].
4.3. Estimasi Eror. Jika penyelesaian eksak pada masalah nilai awal tidak diketahui, maka eror perlu diestimasi. Menurut Gear[2], ekstrapolasi Richardson merupakan salah satu metode untuk mengestimasi suatu eror. Metode dengan orde m mempunyai pendekatan formula dari bentuk
y(x) − yh(x) = D(x)hm + O(hm+1)
Berdasarkan pembahasan dan penerapan kasus dapat diambil kesimpulan sebagai berikut
(1) algoritma Adams Bashfort order empat untuk menyelesaikan masalah nilai awal adalah
yn+1 = yn + (h/24) {55fn − 59fn−1 + 3fn−2 − fn−3}
sedangkan untuk algoritma Adams Moulton order empat untuk menyelesaikan masalah nilai awal adalah
yn+1 = yn + h/24 {9fn+1 + 19fn − 5fn−1 + fn−2}
(2) dari contoh kasus 5.1, diperoleh penyelesaian masalah nilai awal persamaan (5.1) memenuhi algoritma Adams Bashorth orde empat dan Adams Moulton orde empat. Sedangkan dari contoh kasus 5.2, diperoleh penyelesaian masalah nilai awal persamaan (5.2) tidak memenuhi algoritma Adams Bashorth orde empat dan Adams Moulton orde empat,
(3) dari contoh kasus 5.1 dan 5.2 menunjukan bahwa pada ukuran step h eror mutlak penyelesaian dengan metode Adams Bashforth orde empat lebih kecil dibandingkan metode Adams Moulton orde empat. Sehingga lebih kurat menggunakan metode Adams Bashforth orde empat.
