Transformasi Geometri

1. Tentukan bayangan garis 3x – 2y + 5 = 0 oleh refleksi terhadap sumbu x.
Penyelesaian
oleh pencerminan terhadap sumbu X
maka: x’ = x                      x = x’
                y’ = -y                    y = -y’
x = x’ dan y = -y’
disubstitusi ke kurva 3x – 2y + 5 = 0
diperoleh: 3x’ – 2(-y’) + 5 = 0
                  3x’ + 2y’ + 5 = 0
Jadi bayangannya adalah 3x + 2y + 5 = 0

2. Garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A dan memotong sumbu     y di B. Karena dilatasi [O,-2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’.   Hitunglah luas segitiga OA’B’
Penyelesaian
garis 2x – 3y = 6 memotong sumbu X di A(3,0) memotong sumbu Y di B(0,2) karena dilatasi [O,-2] maka
     A’(kx,ky)→ A’(-6,0) dan
     B’(kx,ky) → B’(0,-4)
Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan titik O(0,0) membentuk segitiga seperti pada gambar:

Sehingga luasnya = ½ x OA’ x OB’
                               = ½ x 6 x 4
                               = 12

3.  Carilah matriks yang bersesuaian dengan dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor skala 3 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x 

Penyelesaian

M1= Matrik dilatasi skala 3 adalah
M2 = Matrik refleksi terhadap y = x   adalah  
Matriks yang bersesuaian dengan M1 dilanjutkan M2
ditulis  M2 o M1 =   =
Jadi matriknya adalah

4. Ruas garis AB dengan A(1,5) dan B(3,-2) ditranslasikan 2 satuan searah sumbu X dan 3 satuan searah sumbu Y. Tentukan bayangannya?
Penyelesaian
A’(1 + 2, 5 + 3) = A’(3, 8)
B’(3 + 2, -2 + 3) = B’(5, 1)

5. Tentukan bayangan lingkaran x2+y2-10x+2y+7= 0. Jika dicerminkan terhadap garis y + x = 0!
Penyelesaian
Garis y + x = 0 ⇒y= -x
Diperoleh y = -x’ dan x = -y’
Disubstitusi ke lingkaran diperoleh x^2+y^2-2x+10y+7=0

Lingkaran

1. Diberikan persamaan lingkaran (x − 2)2 + (x + 1)2 = 9. Titik B memiliki koordinat (5, − 1).
Tentukan posisi titik B apakah berada di dalam, luar atau pada lingkaran!
Penyelesaian
Untuk bentuk persamaan lingkaran bentuk (x − a)2 + (x − b)2 = r2, kedudukan titik terhadap lingkarannya sebagai berikut:
Di dalam lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 < r2
Di luar lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 > r2
Pada lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 = r2

Masukkan koordinat B ke persamaan lingkarannya, lihat hasilnya terhadap angka 9, lebih besar, lebih kecil ataukah sama.
B (5, − 1)
x = 5
y = − 1
(x − 2)2 + (x + 1)2
= (5 − 2)2 + (−1 + 1)2
= 9
Hasilnya sama, jadi titik B berada pada lingkaran.

2. Diberikan persamaan lingkaran sebagai berikut x2 + y2 −2x + 4y + 1 = 0. Jika pusat lingkaran adalah P(a, b), berapakah nilai dari 10a − 5b?
Penyelesaian
x2 + y2 −2x + 4y + 1 = 0
Pusatnya adalah
P (−1/2[−2], −1/2 [4])
= (1, −2)
Jadi a = 1 dan b = − 2.
maka, 10a − 5b = 10(1) − 5(−2) = 10 + 10 = 20

3. Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Tentukan Nilai A yang memenuhi persamaan tersebut!
Penyelesaian
Lingkarannya menyinggung sumbu x, sehingga jari-jari lingkarannya akan sama dengan nilai positif dari ordinat titik pusatnya atau
 
Sehingga jari-jari lingkaran x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 adalah r = 10/2 = 5.
Dari rumus jari-jari lingkaran yang telah dihilangkan tanda akarnya:
 
4. Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x2 + y2 = 13 yang melalui titik:
a) (3, −2)
b) (3, 2)
Penyelesaian
Titik (3, − 2) dan titik (3, 2) sama-sama berada pada lingkaran x2 + y2 = 13 sehingga persamaan garis singgungnya masing-masing adalah:
a) x1x + y1y = r2
3x − 2y = 13
b) x1x + y1y = r2
3x + 2y = 13

Aturan Pencacahan

1.      Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke kota C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus yang sama. Berapa banyak cara perjalanan  yang dapat ditempuh orang tersebut ?

Penyelesaian

Rute pergi :

Dari A ke B : 4 bus

Dari B ke C : 3 bus

Rute pulang :

Dari C ke B : 2 bus (kasusnya sama seperti soal sebelumnya)

Dari B ke A : 3 bus (kasusnya sama seperti soal sebelumnya)

Jadi banyak caranya adalah : 4 x 3 x 2 x 3 = 72 cara

2.      Berapa banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris?

Penyelesaian

8C3 = 7.8 = 56 cara

3.      Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak. Tentukan peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru ?

Penyelesaian

Cara mengambil 2 bola merah :

5C2 = 4.5 = 10 cara

Cara mengambil 1 bola biru :

4C1 = 4 cara

Pengambilan bola sekaligus :

12C3 = 10.11.2 = 220 cara

Peluang terambilnya 2 bola merah dan 1 bola biru :

P  = 2/11

4.      Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan dan 2 keping ratusan rupiah. Dompet yag lain berisi uang logam 3 keping lima ratusan dan 1 keping ratusan rupiah. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, berapakah peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah?

Penyelesaian

Kemungkinan yang terjadi adalah pengambilan sebuah logam ratusan di dompet I atau sebuah logam ratusan di dompet II :

Dompet I : peluang mendapatkan logam ratusan adalah

P(A) = 2/7

Dompet II : peluang mendapatkan logam ratusan adalah

P(A) = 3/4

P(A) Dompet I + P(A) Dompet II

      = 2/7 + 1/4

      = 8/28 + 7/28

      = 15/28

5.      Suatu kelas terdiri dari 40 siswa. 25 siswa gemar matematika, 21 siswa gemar IPA, dan 9 siswa gemar matematika dan IPA. Berapakah peluang seorang tidak gemar matematika maupun IPA?

Penyelesaian

Semesta = 40

Yang hanya suka matematika saja = 25 – 9 = 16

Yang hanya suka IPA saja = 21 – 9 = 12

Semesta = matematika saja + IPA saja + kedua-duanya + tidak kedua+duanya

40 = 16 + 12 + 9 + tidak kedua-duanya

40 = 37 + tidak kedua-duanya

3 = tidak kedua-duanya

Jadi peluang seorang tidak gemar kedua-duanya adalah 3/40